二次函数
此條目需要补充更多来源。 (2024年7月3日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索："二次函数" — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。
解析式：
f
(
x
)
=
x
2
−
x
−
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2\,\!}
在数学中，二次函数（英語：quadratic function）表示形为
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
（
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0\,\!}
，且
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c}
是常数）的多项式函数，其中，
x
{\displaystyle x}
为自变量[a]，
a
{\displaystyle a}
、
b
{\displaystyle b}
、
c
{\displaystyle c}
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于
y
{\displaystyle y}
轴的抛物线。[1]
二次函数表达式
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
的定义是一个二次多项式，因为
x
{\displaystyle x}
的最高冪次是2。
如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。
历史[编辑]
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。[b]
11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。[c]
根[编辑]
更多信息：二次方程和韦达定理
二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}
的两个根为：
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
解方程后，我们会得到两个根：
x
1
{\displaystyle x_{1}}
和
x
2
{\displaystyle x_{2}}
。则点
(
x
1
,
0
)
{\displaystyle (x_{1},0)}
和
(
x
2
,
0
)
{\displaystyle (x_{2},0)}
就是二次函数与
x
{\displaystyle x}
轴的交点。根的类型如下：
设
Δ
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}
為一元二次方程式的判別式，又記作D。
當
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0\,\!}
，则方程有两个不相等的根，也即与
x
{\displaystyle x}
轴有两个不重疊的交点，因为
Δ
{\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}
是正数。
當
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0\,\!}
，则方程有两个相等的根，也即与
x
{\displaystyle x}
轴有一个切点，因为
Δ
{\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}
是零。
當
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0\,\!}
，则方程没有實數根，也即与
x
{\displaystyle x}
轴没有交点，因为
Δ
{\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}
是共軛複數。
设
r
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
和
r
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
，我们可以把
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
因式分解为
a
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
{\displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}
。
二次函数的形式[编辑]
二次函数可以表示成以下三种形式：
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
称为一般形式或多项式形式。
f
(
x
)
=
a
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}
称为因子形式或交点式，其中
r
1
{\displaystyle r_{1}}
和
r
2
{\displaystyle r_{2}}
是二次方程的两个根，
(
r
1
,
0
)
{\displaystyle (r_{1},0)}
,
(
r
2
,
0
)
{\displaystyle (r_{2},0)}
是抛物线与
x
{\displaystyle x}
轴的两个交点。
f
(
x
)
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}
称为标准形式或顶点形式，
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)}
即為此二次函數的頂點。
把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根
r
1
{\displaystyle r_{1}}
和
r
2
{\displaystyle r_{2}}
，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。
h
{\displaystyle h}
代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
展開後比較後可得
k
=
−
a
(
|
r
1
−
r
2
|
2
)
2
{\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}}
不通過
r
1
{\displaystyle r_{1}}
和
r
2
{\displaystyle r_{2}}
求
k
{\displaystyle k}
及
h
{\displaystyle h}
公式：
h
=
−
b
2
a
{\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}}
k
=
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
(也作
k
=
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
)
而在三種形式中皆出現的
a
{\displaystyle a}
為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。
图像[编辑]
f
(
x
)
=
a
x
2
|
a
=
{
0.1
,
0.3
,
1
,
3
}
{\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
|
b
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
|
b
=
{
−
1
,
−
2
,
−
3
,
−
4
}
{\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}
系数
a
{\displaystyle a}
控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。
|
a
|
{\displaystyle |a|}
越大，开口越小，函数就增长得越快。
系数
b
{\displaystyle b}
和
a
{\displaystyle a}
控制了抛物线的对称轴（以及顶点的
x
{\displaystyle x}
坐标）。
系数
b
{\displaystyle b}
控制了抛物线穿过
y
{\displaystyle y}
轴时的倾斜度（导数）。
系数
c
{\displaystyle c}
控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与
y
{\displaystyle y}
轴的交点。
函数
图像
函数变化
对称轴
开口方向
最大（小）值
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而增大；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而增大
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向上
0
{\displaystyle 0}
y
=
a
x
2
{\displaystyle y=ax^{2}}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而减小；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而减小
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向下
0
{\displaystyle 0}
y
=
a
x
2
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+c}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而增大；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而增大
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向上
c
{\displaystyle c}
y
=
a
x
2
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+c}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
当
x
>
0
{\displaystyle x>0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而减小；当
x
<
0
{\displaystyle x<0}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而减小
y
{\displaystyle y}
轴或
x
=
0
{\displaystyle x=0}
向下
c
{\displaystyle c}
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
当
x
>
−
b
2
a
{\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而增大；当
x
<
−
b
2
a
{\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而增大
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
向上
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
当
x
>
−
b
2
a
{\displaystyle x>-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的增大而减小；当
x
<
−
b
2
a
{\displaystyle x<-{\frac {b}{2a}}}
时，
y
{\displaystyle y}
随
x
{\displaystyle x}
的减小而减小
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
向下
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle -{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
x 截距[编辑]
当函数与
x
{\displaystyle x}
轴有两个交点时，设这两个交点分别为
A
(
x
1
,
0
)
,
B
(
x
2
,
0
)
{\displaystyle A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)}
，由根与系数的关系得出[d]：
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
和
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
∴
A
B
=
|
x
2
−
x
1
|
=
|
(
x
2
−
x
1
)
2
|
=
|
(
x
1
+
x
2
)
2
−
4
x
1
x
2
|
=
|
(
−
b
a
)
2
−
4
c
a
|
=
|
b
2
a
2
−
4
a
c
a
2
|
=
|
b
2
−
4
a
c
a
2
|
=
b
2
−
4
a
c
|
a
|
或
Δ
|
a
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}}
顶点[编辑]
抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)\,\!}
。用配方法，可以把一般形式
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
化为：
f
(
x
)
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
[2][3]
因此在一般形式中，抛物线的顶点是：
(
−
b
2
a
,
−
Δ
4
a
)
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}
如果二次函数是因子形式
f
(
x
)
=
a
(
x
−
r
1
)
(
x
−
r
2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}
，则两个根的平均数
r
1
+
r
2
2
{\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}
就是顶点的
x
{\displaystyle x}
坐标，因此顶点位于
(
r
1
+
r
2
2
,
f
(
r
1
+
r
2
2
)
)
{\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!}
a
<
0
{\displaystyle a<0\,\!}
时，顶点也是最大值；
a
>
0
{\displaystyle a>0\,\!}
时，则是最小值。
经过顶点的竖直线
x
=
h
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}
又称为抛物线的对称轴。
最大值和最小值[编辑]
導數法[编辑]
函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。
设有函数
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
⇔
f
′
(
x
)
=
2
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!}
然后，求出
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,\!}
的根：
2
a
x
+
b
=
0
⇒
2
a
x
=
−
b
⇒
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}}
因此，
−
b
2
a
{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
的
x
{\displaystyle x\,\!}
值。现在，为了求出
y
{\displaystyle y\,\!}
，我们把
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
代入
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,\!}
：
y
=
a
(
−
b
2
a
)
2
+
b
(
−
b
2
a
)
+
c
⇒
y
=
a
b
2
4
a
2
−
b
2
2
a
+
c
⇒
y
=
b
2
4
a
−
b
2
2
a
+
c
⇒
y
=
b
2
−
2
b
2
+
4
a
c
4
a
⇒
y
=
−
b
2
+
4
a
c
4
a
⇒
y
=
−
(
b
2
−
4
a
c
)
4
a
⇒
y
=
−
Δ
4
a
{\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}}
所以，最大值或最小值的坐标为：
(
−
b
2
a
,
−
Δ
4
a
)
{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)}
配方法[编辑]
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
2
+
b
a
x
)
+
c
=
a
[
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
]
+
c
−
a
(
b
2
a
)
2
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
4
a
−
b
2
4
a
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}}
由於實數的二次方皆大於等於0，因此當
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
時，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
有最大或最小值
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
。
二次函数的平方根[编辑]
二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果
a
>
0
{\displaystyle a>0\,\!}
，则方程
y
=
±
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}
描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线
y
p
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}
的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果
a
<
0
{\displaystyle a<0\,\!}
，则方程
y
=
±
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}
的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线
y
p
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}
的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。
二元二次函数[编辑]
二元二次函数是以下形式的二次多项式：
f
(
x
,
y
)
=
A
x
2
+
B
y
2
+
C
x
+
D
y
+
E
x
y
+
F
{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!}
这个函数描述了一个二次曲面。把
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)\,\!}
设为零，则描述了曲面与平面
z
=
0
{\displaystyle z=0\,\!}
的交线，它是一条圆锥曲线。
最小值/最大值[编辑]
如果
4
A
B
−
E
2
<
0
{\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,}
，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。
如果
4
A
B
−
E
2
>
0
{\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,}
，则当
A
>
0
{\displaystyle A>0}
时函数具有最小值，当
A
<
0
{\displaystyle A<0}
具有最大值。其图像是椭圆抛物面。
二元二次函数的最大值或最小值在点
(
x
m
,
y
m
)
{\displaystyle (x_{m},y_{m})\,}
取得，其中：
x
m
=
−
2
B
C
−
D
E
4
A
B
−
E
2
{\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}}
y
m
=
−
2
A
D
−
C
E
4
A
B
−
E
2
{\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}}
如果
4
A
B
−
E
2
=
0
{\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}
且
D
E
−
2
C
B
=
2
A
D
−
C
E
≠
0
{\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,}
，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。
如果
4
A
B
−
E
2
=
0
{\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,}
且
D
E
−
2
C
B
=
2
A
D
−
C
E
=
0
{\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,}
，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当
A
>
0
{\displaystyle A>0}
时取得最大值，
A
<
0
{\displaystyle A<0}
时取得最小值。其图像也是抛物柱面。
註釋[编辑]
^ 注：自变量
x
{\displaystyle x}
的取值范围为任何实数
^ 参见婆羅摩笈多#代數
^ 参见花拉子米#代數
^ 参见韦达定理
参考资料[编辑]
^ 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
^ 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7.
^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. [2015-08-06]. （原始内容存档于2015-07-29）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
参考书目[编辑]
《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X
參見[编辑]
抛物线
外部連結[编辑]
埃里克·韦斯坦因. Quadratic. MathWorld.
查论编多項式函數
零次函數(常數函數)
一次函數
二次函数
三次函數
四次函數
五次函數
方程
一次方程
二次方程
三次方程
四次方程
五次方程
六次方程
七次方程
八次方程
算法
多项式除法
因式
不可约多项式
最大公因式（英语：Polynomial greatest common divisor）
秦九韶算法
結式
判别式